量子情報通信

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[QIC006：量子情報科学の基礎]　　　　　　　　　（2003/08/05：渚　博）

　量子コンピュータ、量子通信、量子暗号等の技術を深く理解するには、それらの基盤である量子情報科学を基礎知識として習得する必要があります。量子情報科学は、物理科学と情報科学を融合して構成される新しい科学であり、その理解には両分野にわたる広い知識と土台となる数学の知識が求められます。

１．量子情報科学に向けての基礎

１.１スピンと量子情報ユニット

　量子情報科学ではスピンを量子情報の基本ユニットとしてモデル化するので、物理学におけるスピンの知識が必要です。量子力学におけるスピンの本質を理解するのは今日でも困難な問題の一つとされます。電子が原子の中で軌道上を回転しているとすれば軌道角運動量を持ち、その大きさはプランク定数の整数倍となります。また電子は電荷を持つので、回転軸方向に磁気モーメントを持ちます。

　このような基本的な認識の基に原子のスペクトルの詳細な検討が行われ、原子内にある電子は軌道角運動量のみではないことが判明しました。実験結果と整合させるため、電子は角運動量以外に自転によるプランク定数の半分h/4π大きさの固有角運動量を持つという仮説が提案され、それはスピンと命名されました。

　しかし実際に、スピンは電子の自転と解釈すべきかどうかは明確ではありません。なぜならディラックの相対論的電子論によって無理に自転と解釈する必要が無くなったからです。従って、スピンはある種の磁気モーメントの数学的な記述として理解されます。以下にスピンを表す方法を示します。

　スピンは空間におけるx,y,zの方向に関係づけて定義されます。すなわちそれぞれが物理量として次のような作用素で表されます。

　　　　　　　　　　　　　(1)

　ここでそれらを行列表現すれば次のようになります。

　　　　　　　　　　(2)

　上の三つのスピンの固有値はすべてh/4πと-h/4πとなるので、簡略化のためh/2πを単位とすれば電子のスピンの角運動量は1/2と-1/2となります。上の三つの行列はパウリ行列と呼ばれ、量子コンピュータの議論でよく使用されます。このとき、固有状態は固有値1/2に対して、固有値-1/2に対してと書くことができます。通例、は上向きスピン、は下向きスピンと言います。

　この二つの量子状態は直交します。すなわち＝0。ここで情報の概念と対応させるためを1、を0とします。これによって量子状態による1と0が定義されます。しかしながら、このような対応はスピンでなくともすべての２次元量子状態系で行うことができます。例えば光子の偏光、2準位エネルギー原子等です。

　二つの直交する固有状態を持つこのような物理系では、その物理量が取り得る量子状態は二つの固有状態の線形和、すなわちすべての重ね合わせ状態です。

　　　　　　　　　　(3)

　ここでα、βは任意の複素数です。観測者にとってその量子状態に関する知識が全くない場合、この物理系は無限の可能性を持ちます。すなわちこの量子状態を同定するためには無限の情報が必要となります。しかし、この物理系が無限のシャノン情報のメモリーとなり得るわけではありません。

　古典の世界では同定に要する情報とそれを有効なメモリーとして活用できることは等価です。しかし量子の世界では量子測定理論が間に入り、抽出できる情報は有限であり、また一度測定すればその量子系の量子状態は破壊されます。従って、量子状態の世界と人間の世界（古典）にギャップが存在し、同定とメモリーは等価ではありません。この等価でない現象を情報理論として体系化する理論を量子情報理論と言います。

　一方、量子状態は測定しなければ量子状態のまま制御可能であり、そのような処理系を考えることが可能です。このとき量子状態自身を通常の情報（シャノン情報）として扱うことは意味がありません。

　このような無限の可能性を持つ2次元量子状態系の物理量を一つの情報ユニットと考えるなら、無限の量子状態を含んだ空間を情報ユニットとすべきです。このようなわけで2次元ヒルベルト空間で記述された物理系を1量子情報ユニットと定義します。

　多くの文献ではこれを量子ビットと呼んでいます。これは意味を理解して用いないと誤解を招く危険があります。すなわち、ビットはシャノン情報であり、明確な情報測度の理論に基づいて定義されています。しかしここで述べているユニットは情報ではありません。量子状態の集合というリソースです。ここはもはやシャノン情報の世界ではありません。

　定義：1量子情報ユニット（量子ビット）とは2次元ヒルベルト空間のベクトル（量子状態）で記述される一つの物理系である。

　このような量子情報ユニットは図1に示すような一つの球体で表すことができます。なぜなら量子状態のノルム（状態自身の内積）は1であるので|α|² + |β|²　＝ 1でなければなりません。このとき式(3)は次のようになります。

　　　　　　　　　　(4)

　このような球表現はポアンカレーブロッホ球と呼ばれます。量子状態をユニタリー変換で操作するとき、結果としての量子状態はこの球の中の運動としてみることができます。

図1 量子情報ユニットの可視化：ポアンカレーブロッホ球

１.２非局所性、量子相関、エンタングルメント

　EPR現象とは二つの物理系が相互作用し、その後二つの系が空間的に分離されても量子力学的な一体性を保つことです。このような状況を非局所性と言います。非局所性は二つの物理系に量子論的な相関が発生するために起こります。量子相関は個々の物理系（部分系とも言われる）の量子状態が絡み合うことに等しく、その絡み合いをエンタングルメントと言います。

　以下にEPR現象を説明するエンタングルメントの直感的な説明を行います。ここで一つのスピンを持つ粒子Aを考えます。この粒子のスピン状態は上向きと下向きがあるものとします。それらは上向きを表す量子状態

　　　　　（A上向き）：　　　　　(5)

と、下向きを表す量子状態で表されます。

　　　　　（A下向き）：　　　　　(6)

　量子力学の重ね合わせの原理から、上向きと下向きの量子状態の線形和もまたこの粒子の量子状態として許されます。次に全く同じ粒子を二つ（AとB）用意します。二つとも上向きと下向きの状態があります。しかしこのとき、二つの粒子に相互作用があれば、

　　　　　（A上向き）（B下向き）＋（A下向き）（B上向き）

　　　　　　　　　　(7)

という量子状態が許されます。このような状態にある二つの粒子はエンタングルメントした（絡み合った）状態にあると言います。

　これがEPR現象の根元となるものです。この状態にある二つの粒子の一つ（A）のスピンを測定するとき、その測定過程はの射影子によって表されます。もし測定が1/2であれば測定後の系全体の状態は次のようになります。

　　　　　　　　　　　　　　　　(8)

　もし測定値が-1/2であれば測定後の系全体の状態は

　　　　　　　　　　　　　　　　(9)

に瞬間的に変化します（数学的には射影される）。すなわち、Aの粒子の測定の結果が判明すればその瞬間にBの量子状態はそれぞれあるいはになります。これがEPR現象の説明の最後の項目に対応します。上に述べた二つの量子状態の相互作用において、その複合系の一方を部分系と言います。

　定義：どちらかの部分系のみを測定あるいは相互作用する操作は局所的操作（local operation）と呼ばれる。

　量子情報科学では、このような局所的操作は重要な技術的手法となります。さらにエンタングルした量子系においては次のようになります。

　定理：複合系の量子状態が純粋状態であっても、両者に量子相関があれば部分系の量子状態は混合状態である。

　以上のような現象は、量子情報科学において最も興味ある量子現象の一つです。この現象は簡単に述べれば次のように言えます。二つの系を同時に扱える観測者にとってその複合系の状態が純粋状態であって、かつエンタングルしているとします。どちらか一方の部分系のみを操作できる状況にある観測者にとっては自分の系は混合状態になります。それは以下の例に示す公式によって記述されます。

例

　　　　　　　　　　　　(10)

　部分系Aの量子状態は、その統計作用素のBに対する部分トレースになるという原理から、次のように表されます。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(11)

　上の式は上向きとした向きの状態が確率1/2で起こりえることを意味する混合状態です。

１.３ no-cloning定理

　量子力学における量子状態の動的過程は本質的な問題です。その中で量子状態をコピーすることができるのかという問題が、量子力学の基本問題としてウッタースとズーレック、ユーエンらによって考察されました。

　今、二つの量子系A、Bがあるとします。そしてAの系の量子状態を、Bの系の量子状態をとします。二つの合成系の初期状態はとなります。このときAの状態をBにコピーできるかが問題です。答えは一般には可能です、すなわち

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12)

となる作用素U_ABは存在します。しかしこのとき量子状態に関する”情報“がその存在に対して重要な役割を持ちます。もしAの量子状態が操作する人にとって既知であればいかなる量子状態をもコピーする作用素を構成できます。しかし、その作用素で別の量子状態をコピーするには条件が必要です。

　定理：既知の二つ以上の量子状態が互いに直交していれば、それらを正確にコピーする作用素は存在する。非直交であればそのような作用素は存在しない。

　これは一般にno-cloning定理と呼ばれます。この定理から次のことが言えます。

　系：どのような量子状態が用意されたか分からないときには正確なコピーをすることはできない。

　このような議論における注意点は、正確にコピーができないのであって、“近似を許せばコピーは可能である”ということです。そのときには近似度を測る測度が導入され、その測度を最大にする最適問題が設定できます。

２．量子情報科学の数学的基礎

２.１量子確率論の基礎

　量子情報科学は“情報”を量子力学の数理体系において処理する学問であるため、量子力学の基礎数理を理解することが量子情報科学を理解するために必要不可欠になります。しかし、量子力学という物理学のための数学のみでは量子情報の学問を構成することはできません。

　すなわち、物理現象の記述という立場を超えて物理現象を制御するという立場からの数学が求められます。ここでは量子情報科学の諸問題において最も関係する数理体系の基本的な流れを説明します。

　古典物理学は古典的物体の運動を表す軌跡関数に対して種々の数理法則を発見してきました。不規則現象における運動もまた軌跡関数の集合として扱われ、その集団に確率測度が導入され、一般的な確率論が形成されました。

　量子力学においては波動関数の集合で構成される関数空間に確率理論を構築しなければなりません。従って、関数解析的確率論の公式化が望まれます。以下に量子力学固有の現象を含めた完全な確率論、いわゆる量子確率論の基本構造を示します。

　フォンノイマンは1927年にヒルベルト、ノルデハイムとの共著「量子力学の基礎について」を出版し、その拡張として1932年に有名な「量子力学の数学的基礎」と題する本を出版しました。当時、現在超関数として知られるδ関数を用いた量子力学の数理がディラックによって提唱されていました。

　しかしフォンノイマンは、δ関数を議論することなしに量子力学はヒルベルト空間と非有界線形作用素の理論によって、その数学的バックグランドを構成できることを示しました。ヒルベルト空間と線形作用素の理論はそれだけでは単に数学の一形式ですが、フォンノイマンはこれらを用いて、いくつかの公理論的手続きを導入して量子力学を定式化しました。

　ここではその形式を説明する準備として必要な数学的基礎を示します。ヒルベルト空間は線形空間の任意の要素に対して内積が定義され、その内積を距離とすれば内積に関して完備である空間です。このような抽象空間は前述の性質を満たす要素の集合であるので、ユークリッド空間のように特に座標軸などがあるわけではありません。

　座標軸を設定するためには、その要素の中から線形独立なものを選んで直交系を作らなければなりません。もしその直交系が空間を構成しているすべての要素を表現できれば、それは完全正規直交系と呼ばれます。そのような直交系を決めれば、任意の要素（関数あるいはベクトル）はそれらの線形和で表現されます。このときその直交系は座標軸の働きをします

　ヒルベルト空間の要素の部分集合でそれらがまた演算規則に対して閉じている（線形多様体）なら、それは部分空間です。ある部分空間Ｈ₁の要素に対し、もう一つの部分空間Ｈ₂の要素がすべて直交していれば、Ｈ₂はＨ₁の直交補空間と呼ばれます。

　ある線形多様体の要素（この集合は定義域と呼ばれる）を他の要素に変換する作用素で、線形に条件を満たすものを線形作用素と言います。線形作用素による定義域の像は値域と呼ばれます。ヒルベルトとシュミットはすでに有界な線形作用素の理論を完成させていました。それは次のようなものです

　有界線形作用素のエルミート共役とは、ヒルベルト空間の要素のすべてに対し次式を満たす一義的な作用素A^†です。

　　　　　^†　　　　　(13)

　A = A^†であればそれは自己共役と呼ばれます。　A A^†= A^†A = Iであればユニタリー作用素と呼ばれます。Iは恒等作用素です。有界線形自己共役作用素でかつ、べき等律すなわちE ² = Eであれば射影作用素と呼ばれます。

　最も重要な定理の一つは、有界線形自己共役作用素はその固有値λ_iと固有関数（あるいは固有ベクトル）によって表現できるというスペクトル定理です。

　　　　　　　　　　　　　(14)

　ここで、λ_iは固有値、E(λ_i)は固有値λ_iに属する固有ベクトル上への射影作用素です。直交射影子は固有ベクトルを用いて次のように定義できます。

　　　　　　　　　　　　　(15)

　この射影子が量子力学における測定過程を表現することになります。フォンノイマンは上述の数理体系を非有界線形作用素に一般化しました。次にその一般化により数学的に疑いのない量子力学の基礎付けを行いました。運動量や座標位置を表す作用素は非有界であるので、このような一般化は不可欠です。

　特にフォンノイマンは非有界な作用素の定義域や共役作用素を明確に規定し、自己共役な（Aと A^†が同じ定義域を持ち、かつそこで同じ作用をする）作用素であればスペクトル分解可能であることを証明しました。このような成果を基礎として、以下のような量子力学の形式の公理論的表現を提案しました。

　公理Ⅰ. 任意の系にヒルベルト空間が対応し、それに属する量子状態ベクトルはその系の状態を規定する。

　公理Ⅱ. 可観測量（物理量）は自己共役作用素で記述できる。

　公理Ⅲ. 状態ベクトルの時間発展はシュレーディンガー方程式で決定される。

　公理Ⅳ. ある状態ベクトルにある物理量Aを測定したとき測定値はAの固有値λ_iで、それが測定される確率は。測定値がλ_iのとき測定後の系の状態は固有状態になる。

　古典物理学の法則は、量子測定で得られる測定値の平均値に対して適用されます。すなわち

　　　　　　　　　　(16)

　ここでTrはトレースと呼ばれます（作用素や行列の対角成分をすべて加える操作を意味します）。量子状態を表すベクトルは純粋に量子の世界を代表するものです。純粋状態を書き下すことは、観測者にとって知り得るすべての情報が明らかにされていることになります。それにもかかわらず、測定した結果が確率的になるというのが量子力学の本質です。

　このようにボルンの確率解釈に対して数学的に完結した量子確率論が構成されます。フォンノイマンの量子確率論は関数解析的な確率論ですが、この段階では古典論におけるコルモゴロフの測度論的公式化の量子版です。これ以後、ハドソン、ベラフキン、尾畑らによって量子確率過程の体系化が行われ、古典論と同等な理論が展開されています。

２.２量子統計とエントロピー

　一方、量子の世界でも古典的なゆらぎや不確定さがあります。このような状況を数学的に記述するためフォンノイマンは統計作用素を導入しました。すなわち、物理系が古典的な確率：｛p_i｝でいくつかの純粋状態が現れるような状況にあるとき、その物理系の状態は次式で記述されます。

　　　　　　　　　　(17)

　これは純粋状態が確率分布｛p_i｝で準備されている状態です。これを混合状態と呼びます。この統計作用素は前もって準備された量子系の統計的性質を完全に規定します。統計作用素の導入によって量子力学を基礎とする量子統計力学の数学的基礎が極めて豊かになりました。最も重要なエントロピーは以下のように定義されます。

　準備された量子系のエントロピーを考察するために、その量子系に対する測定を行い、そのときの量子系の状態の重み分布p_iに対し次式を求めます。

　　　　　　　　　　(18)

　そしてその最小値を探し、それをエントロピーとします。それが最小になる測定系は統計作用素の直交固有状態ベクトルに対応するものです。それらは次の固有値方程式で求まります。

　　　　　　　　　　　　(19)

　ここではの固有値で、。従って、量子統計力学においてエントロピーは次のように定義されます。ｋはボルツマン定数です。

　　　　　　　　　　(20)

　上式はフォンノイマンエントロピーと呼ばれます。ここでその性質を簡単に説明します。もし状態が純粋状態一つしかないとすると、統計作用素は射影子となります。すなわち

　　　　　　　　　　(21)

　このとき、量子状態の如何に関わらずエントロピーはゼロでなければなりません。事実、上の射影子の固有値は任意の量子状態に対して1です。従ってフォンノイマンエントロピーはゼロです。もし用意された純粋状態の集合が互いに直交しているとき、エントロピーはその各々の状態の重み確率に対する式となります。従って重み確率が等確率の時に最大値logdを持ちます。dはその量子状態を包含するヒルベルト空間の次元です。

　集められた量子状態が非直交状態ベクトル、すなわち二つのベクトルの内積が

　　　　　　　　　　(22)

であればフォンノイマンエントロピーは直交度に依存した値を持ちます。

　フォンノイマン自身はフォンノイマンエントロピーと情報の関係には全く言及しませんでした。しかし約50年後、量子情報科学においてそれが脚光を浴びることになります。

２.３グリーソンの定理

　前項で量子状態と射影作用素によって確率が定義されることを述べました。この確率は関数解析的ですが、定義される確率はコルモゴロフの測度論的確率に帰着されなければなりません。確率測度の要請として次式が必要です。

　　　　　　　　　　(23)

　離散有限系の場合には、スペクトル分解に現れる射影子の集合においてTrρE(λ_i)で定義される確率は数学的に問題がありません。

　1957年にグリーソンは射影子の集合に定義されるすべての確率測度は上の式の形になることを証明しました。これをグリーソンの定理と呼びます。以上の考察によって量子確率論における確率測度は数学的に完備されました。

２.４量子信号空間の基礎：忠実度

　情報科学では情報を伝送する媒体としての信号の集合を考え、それを信号空間と定義します。一般に信号は時間関数です。その集合である信号空間は、時間関数が持つ数学的な性質によって分類されます。例えば絶対可積分関数の集合、2乗可積分関数の集合、ウィーナークラスの集合：などです。このとき信号間の近さを測る測度を距離と言います。

　量子情報科学では情報の伝達媒体は量子状態（あるいは量子状態ベクトル）です。量子状態ベクトルで構成されるヒルベルト空間では内積が距離を表します。このときそれが1であれば同じものと見なされ、0であれば直交しています。量子力学では純粋状態のみならず混合状態をも扱わなければなりません。

　混合状態は統計作用素と呼ばれる作用素で表現されるため、それらの距離を測るには新たな距離の定義が必要です。作用素間の距離は関数解析においてたくさん定義されています。ここでは最も単純な定義を紹介します。

一つのヒルベルト空間に属する純粋状態で構成される二つの統計作用素をρ₁,ρ₂とします。ここでこれらの距離を次式で定義します。

　　　　　　　　　　(24)

　ただし、絶対値の意味はです。これはトレースによって一つの数値になるのでトレース距離と呼ばれます。0であれば同じ作用素と見なされます。

　例

　二つの作用素は可換（ρ₁ρ₂＝ρ₂ρ₁）であれば、規則に従って二つの作用素は同じ基底によって表現できるので、

　　　　　　　　　　(25)

　このとき上で定義した距離は次のようになります。

　　　　　　　　　　(26)

　このように可換の時は簡単になります。しかし非可換のときはその都度工夫が必要です。

　一方、量子情報理論において良く使用される距離に忠実度（fidelity）と呼ばれる測度があります。以下にその定義を示します。同じヒルベルト空間の要素で構成される二つの統計作用素をρ₁,ρ₂とします。このとき

　　　　　　　　　　(27)

は忠実度と呼ばれ、シュマッハー、ジョザらによってその定義と性質が明示されました。一方が純粋状態の場合は上式はとなります。両方が純粋状態の場合は内積となります。この測度は関数解析で要求される距離の条件をすべて満足しませんが、量子情報理論の諸定理の証明などに大変役立つことが分かっています。この場合も、二つの統計作用素が純粋状態に対応するときや可換のときは簡単に計算できますが、非可換の場合にはその都度工夫が必要です。